Berechnung Volumen Viertelkreisring?

Hi,
das ist eine schöne Aufgabe. Helfen kann dir hier der Inhalt des Mathematikunterrichts der Oberstufe. Insbeondere folgender Satz:
Rotiert der Graph einer Funktion f im Intervall [a,b] um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen
V= Pi x Int(a,b)(f(x))^2 dx
Im Prinzip musst du also nur die Kreisfunktion ins richtige Intervall verschieben, in die Formel einsetzen und einen Tashenrechner mit Integralfuntion aurechnen lassen. Wenn du die Oberstufe nicht besucht hast oder Probleme damit hast, dann kann ich das heute Abend auch gern einmal etwas ausführlicher vorrechnen. So kann man nämlich das Volumen von total vielen verrückten Körpern berechnen, solange man deren Silhouette durch eine Funktion annähern kann. Sende dann einfach mal die beiden nötigen Radien.
Sirko
PS: Int(a,b) bedeutet das Integral in den Grenzen a bis b. a und b sind dabei reelle Zahlen.
Edit: Werte sind ja im Bild sichtbar. Musst du also nix schicken.

Ok, dann versuche ich es mal. Im Prinzip ist oben benannte Formel dafür geeignet, dass man eine Form vorgibt und diese um eine Achse rotieren lässt. Damit lassen sich dann Volumen eben dieser Formen berechnen. Diese Formen können z.B. durch Parabeln, triginometrische oder Exponential-funktionen erschaffen werden. Es gibt unzählige weitere Funktionen. Eine für dich spannende ist diejenige, die einen Halbkreis beschreibt. y=Wurzel(r²-x²), wobei r den Radius beschreibt, der in deinem Fall 12,3 beträgt. Deine Funktion heißt also y= Wurzel(12,3²-x²)
Hier ist ein Bild davon.
[Blockierte Grafik: http://abload.de/thumb/kreispyseh.png]
In meinem obigen Satz steht, dass um die x-Achse gedreht wird. Das ist die waagerechte. Entsprechend muss dein Bild gedanklich um 90° gedreht werden.
[Blockierte Grafik: http://abload.de/thumb/drehungctqyz.png]
Wie man sieht, ist dein Viertelkreis um 4,45mm nach oben verschoben im Gegensatz zu meinem Kreis. Das ändere ich jetzt und verschiebe meinen Kreis durch Addition von 4,45 nach oben.
[Blockierte Grafik: http://abload.de/thumb/verschobennsp3w.png]
Wenn du dir die Bezeichnung der x-Achse ansieht, erkennst du, dass ich mich für die Rotation des Bereichs von 0 bis 12,3 interessiere. Das entspricht genau deinem Viertelkreis.
Nun also mal das Volumen berechnen...
V= Pi x Int(0;12,3)(Wurzel((12,3²-x²)+5,45)² dx
Dazu habe ich aber heute keine Lust mehr. Es gibt auch Onlinerechner die das können.
Fertig sind wir dann auch leider noch nicht ganz, da die gesamte Fläche unter dem Viertelkreis mitgerechnet haben. Die Zylinderform in der Mitte ist nämlich mitberechnet worden. Die muss am Ende noch abgezogen werden.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
Sirko

Sirko, die zylindrische Form soll laut Skizze nicht berechnet werden- nur der Bereich um ihn herum.
Um die Form eines "Viertelkreises" zu erreichen, hast Du die x-Achse clevererweise um 12,3 verschoben und damit die zylindrische Form vernachlässigt. Das Intervall beträgt demnach X(0;12,3) und der Zylinder muss nicht mehr beachtet werden.

Grüße

Ja nee, das stimmt mathematisch nicht. Im Intervall 0;12,3 wird anschaulich die gesamte Fläche unter dem Graphen rotiert und das Volumen des entstehenden Körpers ausgegeben. Das kannst du leicht am Beispiel des Rotationskörpers Zylinder nachvollziehen. Beim Einsetzen der Silhouettenfunktion y=c für variable Werte ergeben sich bei immer größerem c größere Volumina. Bei der Rotation um die x-Achse entstehen erstmal immer Vollkörper. Hohl machen musst du sie später.
Verschoben entlang der y-Achse habe ich nur deshalb, weil ich damit den Radius des Viertelkreisrings festgelegt habe. Aber super finde ich, dass du nachvollziehen konntest, was ich gemacht habe.
Sirko

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Ich cheate mal:

das CAD sagt 7966,29 mm²

Als Vergleichswert^^

Wenn das eine Zylinderkopfkontur ist, dann interessiert dich doch eigentlich das komplette Volumen. Also der innere Zylinder + der Viertelkreisring, oder? Genau das Volumen berechnet meine Ausführung oben.
Sirko

Habs jetzt nochmal berechnet. Das Gesamtvolumen des Kopfes beträgt 9113mm³, nur der Viertelkreisring dann ein Volumen von etwa 7966mm³.
Passt also mit den Ergebnissen des CAD Cheatens zusammen.